Encadrement et primitive Montrer que pour tout x ∈ [ 1 ; + ∞ [ : x + 1 1 < ln ( x + 1 ) − ln ( x ) < x 1 . En considérant la suite ( U n ) n ≥ 1 définie par U n = 1 + 2 1 + 3 1 + ⋯ + n 1 , déterminer n → + ∞ lim U n . Déterminer une primitive sur ] 0 ; + ∞ [ de la fonction g ( x ) = 1 + x 6 x 5 .

Encadrement, suite et primitive

Difficile

Montrer que pour tout $x \in [1; + \infty [$ : $\frac{1}{x + 1} < ln (x + 1) - ln (x) < \frac{1}{x}$ .
En considérant la suite $(U_{n})_{n \geq 1}$ définie par $U_{n} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{n}$ , déterminer $n \to + \infty lim U_{n}$ .
Déterminer une primitive sur $] 0; + \infty [$ de la fonction $g (x) = \frac{x ^{5}}{1 + x ^{6}}$ .

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1 Indice 1

Pour l'encadrement, applique le theoreme des accroissements finis a $\\ln$ sur $[x\\,;x+1]$.

2 Indice 2

Pour la limite de $U_n$, somme l'inegalite $\\ln(k+1)-\\ln(k)<\\dfrac{1}{k}$ (telescopage).

3 Indice 3

Pour la primitive, reconnais la forme $\\dfrac{u'}{u}$ avec $u(x)=1+x^6$.

Bloqué sur cet exercice ?

Prof Hicham peut t'expliquer pas à pas, en s'adaptant à ton niveau.

Pour l'encadrement, applique le theoreme des accroissements finis a $l n$ sur $[x,; x + 1]$ .

Pour la limite de $U_{n}$ , somme l'inegalite $l n (k + 1) - l n (k) < df r a c 1 k$ (telescopage).

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

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