Inégalité et application au calcul de limite Montrer que pour tout x ∈ [ 0 ; + ∞ [ : − 2 x 2 ≤ ln ( 1 + x ) − x ≤ − 2 x 2 + 3 x 3 . En déduire x → 0 + lim x 2 ln ( 1 + x ) − x .

Encadrement de ln(1+x) et limite déduite

Difficile

Montrer que pour tout $x \in [0; + \infty [$ :
$- \frac{x ^{2}}{2} \leq ln (1 + x) - x \leq - \frac{x ^{2}}{2} + \frac{x ^{3}}{3} .$
En déduire $x \to 0^{+} lim \frac{ln ( 1 + x ) - x}{x ^{2}}$ .

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1 Indice 1

Posez $\varphi(x) = \ln(1+x) - x + \frac{x^2}{2}$ et étudiez son signe via sa dérivée sur $[0;+\infty[$.

2 Indice 2

Faites de même avec $\psi(x) = -\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3} - (\ln(1+x)-x)$ pour l'autre inégalité.

3 Indice 3

Pour la limite, divisez l'encadrement obtenu par $x^2$ (avec $x>0$) puis appliquez le théorème des gendarmes quand $x \to 0^+$.

Bloqué sur cet exercice ?

Prof Hicham peut t'expliquer pas à pas, en s'adaptant à ton niveau.

Posez $φ (x) = ln (1 + x) - x + \frac{x ^{2}}{2}$ et étudiez son signe via sa dérivée sur $[0; + \infty [$ .

Faites de même avec $ψ (x) = - \frac{x ^{2}}{2} + \frac{x ^{3}}{3} - (ln (1 + x) - x)$ pour l'autre inégalité.

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

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