Énoncé Déterminer les primitives des fonctions suivantes sur l'intervalle indiqué : f ( x ) = 1 + x 6 x 5 sur I = R . f ( x ) = x ln ( x ) 1 sur I = ] 0 ; 1 [ . f ( x ) = x + 1 x 3 + x + 4 sur I = R + . f ( x ) = x 2 + x − 2 5 x + 1 sur I = ] 1 ; + ∞ [ .

Primitives faisant intervenir le logarithme

Intermédiaire

Énoncé

Déterminer les primitives des fonctions suivantes sur l'intervalle indiqué :

$f (x) = \frac{x ^{5}}{1 + x ^{6}}$ sur $I = R$ .
$f (x) = \frac{1}{x ln ( x )}$ sur $I =] 0; 1 [$ .
$f (x) = \frac{x ^{3} + x + 4}{x + 1}$ sur $I = R^{+}$ .
$f (x) = \frac{5 x + 1}{x ^{2} + x - 2}$ sur $I =] 1; + \infty [$ .

Indices

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1 Indice 1

Pour chaque fonction, identifie d'abord sa forme : s'agit-il d'une dérivée composée $\dfrac{u'}{u}$, d'une fraction rationnelle à diviser, ou à décomposer en éléments simples ?

2 Indice 2

Pour a) cherche quelle fonction au dénominateur a une dérivée proche du numérateur. Pour b) pose $u = \ln(x)$. Pour c) effectue la division euclidienne. Pour d) factorise le dénominateur puis décompose.

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Pour chaque fonction, identifie d'abord sa forme : s'agit-il d'une dérivée composée $\frac{u ^{'}}{u}$ , d'une fraction rationnelle à diviser, ou à décomposer en éléments simples ?

Pour a) cherche quelle fonction au dénominateur a une dérivée proche du numérateur. Pour b) pose $u = ln (x)$ . Pour c) effectue la division euclidienne. Pour d) factorise le dénominateur puis décompose.

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