Énoncé Montrer que pour tout x ∈ [ 0 ; + ∞ [ : − 2 x 2 ≤ ln ( 1 + x ) − x ≤ − 2 x 2 + 3 x 3 . En déduire x → 0 + lim x 2 ln ( 1 + x ) − x .

Encadrement de ln(1+x) et limite associée

Difficile

Montrer que pour tout $x \in [0; + \infty [$ :
$- \frac{x ^{2}}{2} \leq ln (1 + x) - x \leq - \frac{x ^{2}}{2} + \frac{x ^{3}}{3} .$
En déduire $x \to 0^{+} lim \frac{ln ( 1 + x ) - x}{x ^{2}}$ .

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1 Indice 1

Pour l'inegalite de droite, introduis $g(x)=\ln(1+x)-x+\dfrac{x^2}{2}-\dfrac{x^3}{3}$ et etudie le signe de $g'(x)$.

2 Indice 2

Pour l'inegalite de gauche, introduis $h(x)=\ln(1+x)-x+\dfrac{x^2}{2}$ et etudie de meme son signe via $h'$.

3 Indice 3

Pour la limite, divise tout l'encadrement par $x^2>0$ puis fais tendre $x$ vers $0^+$ en appliquant le theoreme d'encadrement.

Bloqué sur cet exercice ?

Prof Hicham peut t'expliquer pas à pas, en s'adaptant à ton niveau.

Pour l'inegalite de droite, introduis $g (x) = ln (1 + x) - x + \frac{x ^{2}}{2} - \frac{x ^{3}}{3}$ et etudie le signe de $g^{'} (x)$ .

Pour l'inegalite de gauche, introduis $h (x) = ln (1 + x) - x + \frac{x ^{2}}{2}$ et etudie de meme son signe via $h^{'}$ .

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

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