Énoncé Calculer les limites suivantes : x → 0 + lim ( x 2 1 + ln x ) x → 0 + lim x ln ( 3 x ) 1 x → + ∞ lim ( ln ( x 2 + 1 ) − x ) x → + ∞ lim x ln ( 1 + x 1 ) x → 0 + lim x ( ln x ) 3

Limites avec changement de variable

Intermédiaire

Énoncé

Calculer les limites suivantes :

$x \to 0^{+} lim (\frac{1}{x ^{2}} + ln x)$
$x \to 0^{+} lim \frac{1}{x ln ( 3 x )}$
$x \to + \infty lim (ln (x^{2} + 1) - x)$
$x \to + \infty lim x ln (1 + \frac{1}{x})$
$x \to 0^{+} lim x (ln x)^{3}$

Indices

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1 Indice 1

Pour chaque limite, identifie d'abord la forme indéterminée : $+\infty - \infty$, $\dfrac{0}{0}$, ou $0 \times \infty$. Ensuite, cherche une transformation algébrique adaptée : réduction au même dénominateur, factorisation, ou changement de variable.

2 Indice 2

Pour les limites a) et b), simplifie l'expression en utilisant les propriétés du logarithme : $\ln(\sqrt[3]{x}) = \dfrac{1}{3}\ln x$. Pour c) et d), factorise ou pose $X = \dfrac{1}{x}$. Pour e), pense au changement $X = \sqrt[3]{x}$ et rappelle-toi que $\lim_{t \to 0^{+}} t\ln t = 0$.

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Pour chaque limite, identifie d'abord la forme indéterminée : $+ \infty - \infty$ , $\frac{0}{0}$ , ou $0 \times \infty$ . Ensuite, cherche une transformation algébrique adaptée : réduction au même dénominateur, factorisation, ou changement de variable.

Pour les limites a) et b), simplifie l'expression en utilisant les propriétés du logarithme : $ln (3 x) = \frac{1}{3} ln x$ . Pour c) et d), factorise ou pose $X = \frac{1}{x}$ . Pour e), pense au changement $X = 3 x$ et rappelle-toi que $t \to 0^{+} lim t ln t = 0$ .

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

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