Déterminer les entiers naturels x et y vérifiant x 2 − y 2 = 51 . Déterminer tous les couples ( a ; b ) d'entiers naturels tels que a 2 − b 2 = 7344 et a ∧ b = 12 .

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Déterminer les entiers naturels $x$ et $y$ vérifiant $x^{2} - y^{2} = 51$ .
Déterminer tous les couples $(a; b)$ d'entiers naturels tels que $a^{2} - b^{2} = 7344$ et $a \land b = 12$ .

Indices

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1 Indice 1

Factorisez $x^2-y^2$ en $(x-y)(x+y)$ et cherchez toutes les décompositions de $51$ en produit de deux facteurs de même parité avec $x-y \leq x+y$.

2 Indice 2

Pour la question 2, utilisez que $a\wedge b=12$ implique que $12$ divise à la fois $a$ et $b$ : posez $a=12k$, $b=12p$ et substituez dans l'équation.

3 Indice 3

Après substitution, simplifiez pour retomber sur une équation de la même forme que la question 1, puis reliez les solutions $(k,p)$ à $(a,b)$.

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Factorisez $x^{2} - y^{2}$ en $(x - y) (x + y)$ et cherchez toutes les décompositions de $51$ en produit de deux facteurs de même parité avec $x - y \leq x + y$ .

Pour la question 2, utilisez que $a \land b = 12$ implique que $12$ divise à la fois $a$ et $b$ : posez $a = 12 k$ , $b = 12 p$ et substituez dans l'équation.

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

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