PGCD de deux expressions consécutives

Difficile
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Énoncé

Soit un entier naturel. On pose et .

  1. Montrer que .
  2. En déduire que pour tout entier .

Indices

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1 Indice 1
Calcule directement $a - 2b$ en remplaçant $a=2n+3$ et $b=n+1$, puis développe.
2 Indice 2
Une fois que $a-2b=1$, pense à ce que cela implique pour un diviseur commun $d$ de $a$ et $b$ : $d$ divise aussi toute combinaison $\\alpha a + \\beta b$.
3 Indice 3
Conclus sur la valeur du pgcd en utilisant le fait que $d$ divise $1$.

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La méthode — par où commencer

Calcule directement en remplaçant et , puis développe.

Une fois que , pense à ce que cela implique pour un diviseur commun de et : divise aussi toute combinaison .

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

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