Soit n un entier naturel. On pose B = 8 n − 1 . Vérifier que B est divisible par 7 pour n = 1 et n = 2 . Sachant que 8 = 7 + 1 , montrer que le reste de la division de 8 n par 7 est 1 . En déduire que B = 8 n − 1 est divisible par 7 pour tout entier n .

Divisibilité par 7 d'une différence

Difficile

Soit $n$ un entier naturel. On pose $B = 8^{n} - 1$ .

Vérifier que $B$ est divisible par $7$ pour $n = 1$ et $n = 2$ .
Sachant que $8 = 7 + 1$ , montrer que le reste de la division de $8^{n}$ par $7$ est $1$ .
En déduire que $B = 8^{n} - 1$ est divisible par $7$ pour tout entier $n$ .

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1 Indice 1

Calcule directement $B$ pour $n=1$ et $n=2$, puis vérifie la divisibilité par $7$.

2 Indice 2

Utilise le binôme de Newton sur $(7+1)^{n}$ : dans le développement, tous les termes contiennent un facteur $7$ sauf le dernier.

3 Indice 3

Une fois que tu sais que $8^{n}=7k+1$, remplace dans $B=8^{n}-1$ pour conclure.

Bloqué sur cet exercice ?

Prof Hicham peut t'expliquer pas à pas, en s'adaptant à ton niveau.

Calcule directement $B$ pour $n = 1$ et $n = 2$ , puis vérifie la divisibilité par $7$ .

Utilise le binôme de Newton sur $(7 + 1)^{n}$ : dans le développement, tous les termes contiennent un facteur $7$ sauf le dernier.

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

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