On cherche deux entiers naturels a et b tels que a × b = 3024 et pgcd ( a ; b ) = 12 . Déterminer ppcm ( a ; b ) . On pose a = 12 a ′ et b = 12 b ′ avec a ′ et b ′ premiers entre eux. Montrer que a ′ × b ′ = 21 . En déduire tous les couples ( a ; b ) possibles avec a ≤ b .

Équation avec PGCD et PPCM

Difficile

On cherche deux entiers naturels $a$ et $b$ tels que $a \times b = 3024$ et $pgcd (a; b) = 12$ .

Déterminer $ppcm (a; b)$ .
On pose $a = 12 a^{'}$ et $b = 12 b^{'}$ avec $a^{'}$ et $b^{'}$ premiers entre eux. Montrer que $a^{'} \times b^{'} = 21$ .
En déduire tous les couples $(a; b)$ possibles avec $a \leq b$ .

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1 Indice 1

Pour 1), rappelle-toi la relation entre le produit, le pgcd et le ppcm de deux entiers : $a \times b = \text{pgcd}(a;b) \times \text{ppcm}(a;b)$.

2 Indice 2

Pour 2), remplace $a=12a'$ et $b=12b'$ dans le produit $a \times b = 3024$ et simplifie.

3 Indice 3

Pour 3), decompose 21 en produit de deux facteurs premiers entre eux, en n'oubliant pas la condition $a' \leq b'$.

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Prof Hicham peut t'expliquer pas à pas, en s'adaptant à ton niveau.

Pour 1), rappelle-toi la relation entre le produit, le pgcd et le ppcm de deux entiers : $a \times b = pgcd (a; b) \times ppcm (a; b)$ .

Pour 2), remplace $a = 12 a^{'}$ et $b = 12 b^{'}$ dans le produit $a \times b = 3024$ et simplifie.

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

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