Bijection et fonction réciproque

Difficile
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Énoncé

Soit définie par .

  1. Montrer que est strictement croissante sur .
  2. En déduire que est une bijection de vers son image. Préciser cette image.
  3. Déterminer la fonction réciproque .

Indices

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1 Indice 1
Pour la monotonie, calcule $f(x_2)-f(x_1)$ et factorise l'expression pour faire apparaitre $(x_2-x_1)$ et un second facteur dont il faut etudier le signe sur $[1;+\\infty[$.
2 Indice 2
Ecris $f(x)$ sous forme canonique $(x-1)^2-1$ pour trouver facilement $f(1)$ et la limite en $+\\infty$, ce qui donne l'image de $f$.
3 Indice 3
Pour la reciproque, pose $y=f(x)$, ecris l'equation sous forme canonique et resous en $x$ en n'oubliant pas la contrainte $x\\ge 1$ qui impose le signe de la racine carree.

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La méthode — par où commencer

Pour la monotonie, calcule et factorise l'expression pour faire apparaitre et un second facteur dont il faut etudier le signe sur .

Ecris sous forme canonique pour trouver facilement et la limite en , ce qui donne l'image de .

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

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