Étude complète d'une fonction

Difficile
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Énoncé

Soit .

  1. Déterminer .
  2. Étudier la parité de .
  3. Montrer que est croissante sur .
  4. En déduire les variations de sur .
  5. Déterminer les extremums de .

Indices

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1 Indice 1
Pour le domaine, verifie que le denominateur $x^2+1$ ne s'annule jamais. Pour la parite, calcule $f(-x)$ et compare a $f(x)$.
2 Indice 2
Pour la monotonie sur $[0,+\\infty[$, calcule $f(x_2)-f(x_1)$ en mettant au meme denominateur, puis factorise le numerateur.
3 Indice 3
Utilise la parite de $f$ (fonction paire) pour deduire ses variations sur $]-\\infty,0]$ a partir de celles sur $[0,+\\infty[$, puis identifie l'extremum en $x=0$ et la limite en $\\pm\\infty$.

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La méthode — par où commencer

Pour le domaine, verifie que le denominateur ne s'annule jamais. Pour la parite, calcule et compare a .

Pour la monotonie sur , calcule en mettant au meme denominateur, puis factorise le numerateur.

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

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