Encadrement et factorisation d'une expression

Difficile
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Énoncé

Soient et deux réels tels que et . On pose .

  1. Donner un encadrement de .

  2. Factoriser .

  3. En déduire que .

Indices

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1 Indice 1
Pour l'encadrement de la question 1, encadre separement $x^2$, $y^2$ (donc $-y^2$) et $x+y$ a partir des encadrements donnes sur $x$ et $y$, puis additionne les inegalites.
2 Indice 2
Pour la factorisation, utilise l'identite remarquable $x^2-y^2=(x-y)(x+y)$ et mets $(x+y)$ en facteur commun.
3 Indice 3
Pour la question 3, encadre separement les deux facteurs $(x+y)$ et $(x-y+1)$ ; comme ils sont tous deux positifs, multiplie les encadrements membre a membre, puis compare avec le resultat de la question 1 pour garder le meilleur encadrement de chaque cote.

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La méthode — par où commencer

Pour l'encadrement de la question 1, encadre separement , (donc ) et a partir des encadrements donnes sur et , puis additionne les inegalites.

Pour la factorisation, utilise l'identite remarquable et mets en facteur commun.

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

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