On considère le polynôme P ( x ) = x 3 − 3 x + 2 . Calculer P ( 1 ) et déterminer Q ( x ) tel que P ( x ) = ( x − 1 ) Q ( x ) . Vérifier que P ( x ) = ( x + 2 ) ( x − 1 ) 2 . Résoudre dans R l'équation P ( x ) = 0 . Soit α un réel tel que 1 < α < 2 . Montrer que 0 < P ( α ) < 4 .

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Intermédiaire

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On considère le polynôme $P (x) = x^{3} - 3 x + 2$ .

Calculer $P (1)$ et déterminer $Q (x)$ tel que $P (x) = (x - 1) Q (x)$ .
Vérifier que $P (x) = (x + 2) (x - 1)^{2}$ .
Résoudre dans $R$ l'équation $P (x) = 0$ .
Soit $α$ un réel tel que $1 < α < 2$ . Montrer que $0 < P (α) < 4$ .

Indices

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1 Indice 1

Pour montrer que $0 < P(\alpha) < 4$, commence par utiliser la forme factorisée $P(\alpha) = (\alpha + 2)(\alpha - 1)^2$ et encadre séparément chaque facteur en utilisant $1 < \alpha < 2$.

2 Indice 2

De $1 < \alpha < 2$, déduis que $3 < \alpha + 2 < 4$ et que $0 < \alpha - 1 < 1$. Que peux-tu dire de $(\alpha - 1)^2$ ? Multiplie ensuite les encadrements obtenus.

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Pour montrer que $0 < P (α) < 4$ , commence par utiliser la forme factorisée $P (α) = (α + 2) (α - 1)^{2}$ et encadre séparément chaque facteur en utilisant $1 < α < 2$ .

De $1 < α < 2$ , déduis que $3 < α + 2 < 4$ et que $0 < α - 1 < 1$ . Que peux-tu dire de $(α - 1)^{2}$ ? Multiplie ensuite les encadrements obtenus.

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