Soit le polynôme P ( x ) = 2 x 3 + 5 x 2 − x − 6 . Montrer que − 2 est une racine de P ( x ) . Déterminer le polynôme Q ( x ) tel que P ( x ) = ( x + 2 ) Q ( x ) . Montrer que Q ( x ) est divisible par ( x − 1 ) , puis factoriser Q ( x ) . En déduire une factorisation de P ( x ) en produit de trois polynômes de degré 1 .

Factorisation en trois facteurs de degré 1

Intermédiaire

Énoncé

Soit le polynôme $P (x) = 2 x^{3} + 5 x^{2} - x - 6$ .

Montrer que $- 2$ est une racine de $P (x)$ .
Déterminer le polynôme $Q (x)$ tel que $P (x) = (x + 2) Q (x)$ .
Montrer que $Q (x)$ est divisible par $(x - 1)$ , puis factoriser $Q (x)$ .
En déduire une factorisation de $P (x)$ en produit de trois polynômes de degré $1$ .

Indices

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1 Indice 1

Pour montrer que $-2$ est une racine, remplace $x$ par $-2$ dans le polynôme $P(x)$ et calcule $P(-2)$. Si tu trouves zéro, c'est gagné !

2 Indice 2

Pour trouver $Q(x)$, pose $Q(x) = ax^2 + bx + c$ puis développe $(x+2)(ax^2+bx+c)$. Identifie ensuite les coefficients avec ceux de $P(x) = 2x^3 + 5x^2 - x - 6$.

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Pour montrer que $- 2$ est une racine, remplace $x$ par $- 2$ dans le polynôme $P (x)$ et calcule $P (- 2)$ . Si tu trouves zéro, c'est gagné !

Pour trouver $Q (x)$ , pose $Q (x) = a x^{2} + b x + c$ puis développe $(x + 2) (a x^{2} + b x + c)$ . Identifie ensuite les coefficients avec ceux de $P (x) = 2 x^{3} + 5 x^{2} - x - 6$ .

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