Projetés orthogonaux et théorème de Thalès

Difficile
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Énoncé

est un triangle. On définit :

  1. le projeté orthogonal de sur la droite ;
  2. le projeté orthogonal de sur la droite ;
  3. le projeté orthogonal de sur la droite ;
  4. le projeté orthogonal de sur la droite .
  1. Faire une figure.
  2. Montrer que .
  3. Montrer que .
  4. En déduire que .

Indices

— clique pour révéler
1 Indice 1
Pour la question 2, cherchez deux droites parallèles issues de $E$, $C$, $D$, $F$ (toutes perpendiculaires à $(AB)$) puis appliquez le théorème de Thalès dans le triangle $ACE$.
2 Indice 2
Pour la question 3, procédez de façon symétrique dans le triangle $ABD$ en utilisant les perpendiculaires à $(AC)$.
3 Indice 3
Pour la question 4, comparez les deux égalités trouvées en 2) et 3) pour obtenir un rapport commun, puis utilisez la réciproque du théorème de Thalès dans le triangle $ABC$.

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La méthode — par où commencer

Pour la question 2, cherchez deux droites parallèles issues de , , , (toutes perpendiculaires à ) puis appliquez le théorème de Thalès dans le triangle .

Pour la question 3, procédez de façon symétrique dans le triangle en utilisant les perpendiculaires à .

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

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