دراسة دالة وحساب مساحة

التمرين 5

لتكن الدالة $f$ المعرفة على $]0;+\infty [$ بما يلي: $f(x)=x-1-\ln (x)$.

الجزء A: دراسة الدالة f

1. احسب $f^{\prime }(x)$ وادرس تغيرات الدالة $f$ على $]0;+\infty [$.
2. بين أن $f(x)\ge 0$ لكل $x\in ]0;+\infty [$، وأن $f(x)=0$ إذا وفقط إذا كان $x=1$.

الجزء B: تطبيق التكامل

نضع: $J=\underset{1}{\overset{e}{\int }}\ln (x)dx$.

3. احسب J بإجراء مكاملة بالأجزاء. (نضع $u=\ln (x)$ و $v^{\prime }=1$).
4. باستخدام نتيجة الجزء A، بين أن: $J\le \frac{e^2-1}{2}-e+1$. ثم تحقق من هذه المتراجحة عدديا (نعتبر $e\approx 2,718$).

الجزء C: تأويل هندسي

5. أول هندسيا J، ثم احسب مساحة الحيز المحصور بين منحنى الدالة ln، ومحور الأراتيب، والمستقيمين $y=0$ و $y=1$.