تكامل بالأجزاء ومساحة سطح مستو

التمرين 2 — التكامل بالتجزيء وحساب المساحة

نعتبر الدالة f المعرفة على $[0;+\infty [$ بـ: $f(x)=(2x+1)e^{-x}$.

نرمز بـ (𝒞) لمنحناها التمثيلي في معلم متعامد ومتجانس $(O;\mathbf{i},\mathbf{j})$.

1. احسب $f^{\prime }(x)$ وادرس إشارة $f^{\prime }(x)$ على $[0;+\infty [$. استنتج تغيرات $f$ على هذه الفترة.

2. احسب نهاية $f(x)$ عندما $x\to +\infty$. (نقبل أن $\underset{x\to +\infty }{\lim }x\cdot e^{-x}=0$.)

3. نضع $J=\underset{0}{\overset{1}{\int }}(2x+1)e^{-x}dx$.
   باستعمال التكامل بالتجزيء مع $u(x)=2x+1$ و $v^{\prime }(x)=e^{-x}$، احسب $J$.

4. ليكن 𝒟 المجال المحدد بالمنحنى (𝒞)، محور الفواصل والمستقيمين ذوي المعادلتين $x=0$ و $x=1$.
   بين أن $f(x)\ge 0$ على $[0;1]$، ثم احسب المساحة 𝒜 للمجال 𝒟 بوحدة المساحة.