دراسة متتالية تكاملات وتأطير

التمرين 3 — متتالية تكاملات وتأطير

لكل عدد صحيح طبيعي $n\ge 0$، نُعرف ما يلي:

$I_n=\underset{0}{\overset{1}{\int }}{x}^n\cdot e^{x}dx$.

1. حسابات أولية.

   1. احسب $I_0=\underset{0}{\overset{1}{\int }}{e}^{x}dx$.
   2. باستخدام مكاملة بالأجزاء، احسب $I_1=\underset{0}{\overset{1}{\int }}x\cdot e^{x}dx$.

2. علاقة ترجعية.
   بإجراء مكاملة بالأجزاء مع $u(x)=x^n$ و $v^{\prime }(x)=e^x$، بين أنه لكل عدد صحيح $n\ge 1$ :

   $I_n=e-n\cdot I_{n-1}$.

3. تأطير $I_n$.

   1. بين أنه لكل $x\in [0;1]$ ولكل $n\ge 0$ : $0\le x^n\cdot e^x\le e\cdot x^n$.
   2. استنتج أن : $0\le I_n\le \frac{e}{n+1}$.
   3. حدد $\underset{n\to +\infty }{\lim }{I}_n$.

4. تطبيق.
   باستخدام العلاقة الترجعية والنهاية التي تم إيجادها في 3.c)، بين أن المتتالية $(n!\cdot I_n)$ غير محدودة، ثم احسب $I_2$ و $I_3$ باستخدام العلاقة الترجعية.