تكامل، متراجحة وتطبيق على متتالية

التمرين 6 — تأطير التكامل وتقارب متتالية

لكل عدد صحيح $n\ge 1$، نُعرف: $u_n=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{x^n}{1+x}dx$.

1. الوجود والإيجابية: برهن أن $u_n$ معرفة جيدًا لكل $n\ge 1$ وأن $u_n>0$.
2. علاقة الترجع:
   أ) بين أن $u_n+u_{n+1}=\frac{1}{n+1}$ لكل $n\ge 1$.
   إشارة: احسب $u_n+u_{n+1}$ بتعميل الدالة المكاملة.
   ب) استنتج أن المتتالية $(u_n)$ تناقصية.
3. التأطير:
   لكل $x\in [0;1]$، بين أن: $\frac{1}{2}\cdot x^n\le \frac{x^n}{1+x}\le x^n$.
   استنتج تأطيرًا لـ $u_n$.
4. النهاية:
   أ) باستخدام تأطير السؤال 3، بين أن $\underset{n\to +\infty }{\lim }{u}_n=0$.
   ب) باستخدام العلاقة $u_n+u_{n+1}=\frac{1}{n+1}$، استرجع هذه النتيجة.