متتالية تكاملات معرفة بالترجع

التمرين 4

لكل عدد طبيعي $n$، نعرف: $I_n=\underset{0}{\overset{1}{\int }}{x}^n{e}^{x}dx$.

1. احسب $I_0=\underset{0}{\overset{1}{\int }}{e}^{x}dx$.
2. بإجراء تكامل بالتجزيء، أثبت علاقة التراجع: $I_n=e-n\times I_{n-1}$، لكل عدد صحيح $n\ge 1$.
3. احسب $I_1$ ثم $I_2$.
4. بين أنه لكل $n\in \mathbb{N}$، $0\le I_n\le \frac{e}{n+1}$. استنتج نهاية $I_n$ عندما $n\to +\infty$.