تكامل بالأجزاء والمساحة

التمرين 2 — التكامل بالتجزيء والتفسير الهندسي

نعتبر الدالة $f$ المعرفة على $[0;1]$ بـ: $f(x)=(2x+1)e^x$.

نرمز بـ $(C)$ للمنحنى الممثل للدالة $f$ في معلم متعامد ومتجانس.

1. احسب $f^{\prime }(x)$ لكل $x\in [0;1]$. استنتج منحى تغير $f$ على $[0;1]$ وأنشئ جدول التغيرات الكامل.

2. نقبل أن $F$ دالة أصلية للدالة $f$ على $[0;1]$. احسب التكامل $I=\underset{0}{\overset{1}{\int }}(2x+1)e^{x}dx$ باستعمال التكامل بالتجزيء.
   نذكر بالصيغة: $\underset{a}{\overset{b}{\int }}u(x)v^{\prime }(x)dx=[u(x)v(x){]}_a^b-\underset{a}{\overset{b}{\int }}{u}^{\prime }(x)v(x)dx$.

3. فسر هندسيا قيمة $I$ واحسب، بوحدات المساحة، مساحة المجال المحدد بالمنحنى $(C)$ ومحور الفواصل والمستقيمين ذوي المعادلتين $x=0$ و $x=1$.

4. احسب القيمة المتوسطة للدالة $f$ على $[0;1]$، المرموز لها بـ $m$. أعط القيمة الضبطية ثم قيمة مقربة إلى $10^{-2}$ (نأخذ $e\approx 2,718$).