دراسة دالة معرفة بتكامل

التمرين 4

لكل عدد حقيقي $x\ge 0$، نُعرّف الدالة F بما يلي:

$F(x)=\underset{0}{\overset{x}{\int }}\frac{t}{t^2+1}dt$.

1. بين أن الدالة $t\mapsto \frac{t}{t^2+1}$ متصلة وموجبة على $[0;+\infty )$.
2. احسب $F(x)$ لكل $x\ge 0$. (مع تحديد الطريقة المستعملة.)
3. ادرس تغيرات الدالة F على $[0;+\infty )$ وضع جدول تغيراتها.
4. بين أن $F(x)<\frac{1}{2}\ln (2)$ لكل $x\in [0;1]$، ثم احسب $F(1)$ وتحقق من هذه المتراجحة.