مسألة: مساحة، متراجحة تكاملية وتأطير ln 2

التمرين 6

نعتبر الدالة $f$ المعرفة على $]0;+\infty [$ بما يلي: $f(x)=\frac{1}{x}$.

الجزء A — تأطير $\ln 2$

1. بين أن لكل $x\in [1;2]$: $\frac{1}{2}\le \frac{1}{x}\le 1$.
2. استنتج، باستعمال خاصيات التكامل، أن: $\frac{1}{2}\le \ln 2\le 1$.

الجزء B — تأطير أكثر دقة

لكل عدد صحيح طبيعي $n\ge 1$، نضع:

$S_n=\frac{1}{n}\times \sum _{k=1}^n\frac{1}{1+k/n}$.

3. بين أن $S_n=\frac{1}{n}\times \sum _{k=1}^n\frac{n}{n+k}$.
4. احسب $S_2$ و $S_3$ (القيم المضبوطة).
5. افترض أن $S_n\to \ln 2$ عندما $n\to +\infty$. باستعمال $S_4$، أعط تأطيرا لـ $\ln 2$ بدقة $10^{-2}$ مع تبرير أن $S_4$ هي قيمة مقربة بالنقصان لـ $\ln 2$.

الجزء C — المساحة والتأويل

6. احسب المساحة A للمنطقة من المستوى المحصورة بين منحنى الدالة f، محور الأفاصيل والمستقيمين اللذين معادلتاهما $x=1$ و $x=2$.
7. نعتبر الدالة g المعرفة على $[1;2]$ بما يلي: $g(x)=-x+2$. احسب المساحة B للمنطقة المحصورة بين منحنيي الدالتين f و g على $[1;2]$، مع تحديد المجال(ات) الفرعي(ة) التي يكون فيها $f(x)\ge g(x)$.