الدوال الأصلية وحساب التكامل

التمرين 1 — الدوال الأصلية والتكامل المحدد

نعتبر الدالة $f$ المعرفة على $\mathbb{R}$ بـ: $f(x)=3x^2-4x+2e^x$.

1. حدد الدالة الأصلية $F$ للدالة $f$ على $\mathbb{R}$ بحيث $F(0)=1$. برر كل خطوة.

2. احسب التكامل: $I=\underset{0}{\overset{1}{\int }}f(x)dx$.

3. نعتبر الدالة $g$ المعرفة على $]0;+\infty [$ بـ: $g(x)=\frac{2x+1}{x}$.
   a) اكتب $g(x)$ في شكل يسمح بتحديد دالة أصلية للدالة $g$ بسهولة.
   b) استنتج دالة أصلية $G$ للدالة $g$ على $]0;+\infty [$.
   c) احسب $J=\underset{1}{\overset{e}{\int }}g(x)dx$، حيث $e$ يرمز لأساس اللوغاريتم الطبيعي.