دراسة دالة وحساب مساحة

التمرين 5

نمذجة شركة مقرها الدار البيضاء لربحها اليومي (بآلاف الدراهم) خلال فترة عمل مدتها $t$ ساعة ($t\in [0;4]$) بواسطة الدالة:

$f(t)=(t-2)e^{-t/2}+1$.

الجزء A — دراسة الدالة f

1. احسب $f^{\prime }(t)$ وادرس إشارتها على $[0;4]$. استنتج جدول تغيرات الدالة $f$ على $[0;4]$.
2. بين أن الدالة $f$ تنعدم في نقطة واحدة بالضبط $t_0\in [0;2[$. سنفترض أن $t_0\approx 0,84$.

الجزء B — حساب المساحات

3. بين أن الدالة $G$ المعرفة بـ $G(t)=-(2t)e^{-t/2}+t$ هي دالة أصلية للدالة $f$ على $\mathbb{R}$.
4. احسب المساحة $A_1$ للمنطقة المحصورة بين منحنى الدالة $f$ ومحور الأفاصيل على المجال $[t_0;4]$ (عبر عن النتيجة بدلالة $e$).
5. باستخدام علاقة Chasles والنتيجة السابقة، احسب التكامل $\underset{0}{\overset{4}{\int }}f(t)dt$. فسر هذه النتيجة اقتصاديا.