دراسة شاملة وحجم دوران

التمرين 5 — دراسة شاملة لدالة وحجم مجسم الدوراني

نعتبر الدالة $f$ المعرفة على المجال $]0;+\infty [$ بما يلي: $f(x)=x-1-\ln (x)$.
نرمز بـ (C) إلى تمثيلها المبياني في معلم متعامد ممنظم (O ; i ; j) (وحدة القياس: 2 cm).

1. دراسة الدالة $f$:

   1. احسب نهايتي الدالة $f$ عند $0^{+}$ وعند $+\infty$.
   2. ادرس تغيرات الدالة $f$ ثم ضع جدول تغيراتها الكامل.
   3. بين أن $f(x)\ge 0$ لكل $x\in ]0;+\infty [$، مع تحقق المساواة فقط عندما $x=1$.

2. المماس في نقطة:
   حدد معادلة المماس (T) للمنحنى (C) في النقطة التي أفصولها $x=e$.

3. حساب التكامل:
   نقبل أن $\int$ من $a$ إلى $b$ لـ $\ln (x)$ dx = $[x\times \ln (x)-x]$ من $a$ إلى $b$.
   احسب $J=\int$ من $1$ إلى $e^2$ لـ $f(x)$ dx.

4. المساحة:
   ليكن D هو الحيز المحصور بين (C)، محور الأفاصيل والمستقيمين اللذين معادلتاهما $x=\frac{1}{e}$ و $x=e$.
   احسب المساحة A للحيز D بوحدة قياس المساحة.

5. حجم مجسم الدوراني:
   نعتبر الحيز D' المحصور بين (C)، محور الأفاصيل والمستقيمين $x=1$ و $x=e$.
   احسب الحجم V للمجسم المتولد عن دوران D' حول محور الأفاصيل.
   تذكير: $V=\pi \times \int$ من $a$ إلى $b$ لـ $[f(x){]}^2$ dx.