التمرين 4 — التكامل بالتجزيء ومتتالية تكاملات لكل عدد طبيعي n ، نضع I n = 0 ∫ 1 x n × e x d x . احسب I 0 مباشرة. باستعمال التكامل بالتجزيء، بين أنه لكل n ≥ 1 : I n = e − n × I n − 1 استنتج قيمتي I 1 و I 2 . نضع J n = e − 1 × I n لكل n ∈ N . بين أن المتتالية ( J n ) تحقق العلاقة : J n + n × J n − 1 = 1 لكل n ≥ 1 . باستعمال إيجابية التكامل، بين أنه لكل n ∈ N ، 0 ≤ I n ≤ n + 1 e . استنتج نهاية I n عندما يؤول n إلى + ∞ .

مكاملة بالأجزاء ومتتالية معرفة بتكامل

Intermédiaire Inspiré BAC Sénégal

Exercice inspiré d'un BAC Sénégal

Source-style : BAC Sénégal Série S 2023

Inspiré du style BAC Sénégal Série S 2023

Énoncé et solution adaptés au programme marocain. Voir crédits.

التمرين 4 — التكامل بالتجزيء ومتتالية تكاملات

لكل عدد طبيعي $n$ ، نضع $I_{n} = 0 \int 1 x^{n} \times e^{x} d x$ .

احسب $I_{0}$ مباشرة.
باستعمال التكامل بالتجزيء، بين أنه لكل $n \geq 1$ :
$I_{n} = e - n \times I_{n - 1}$
استنتج قيمتي $I_{1}$ و $I_{2}$ .
نضع $J_{n} = e^{- 1} \times I_{n}$ لكل $n \in N$ .
بين أن المتتالية $(J_{n})$ تحقق العلاقة : $J_{n} + n \times J_{n - 1} = 1$ لكل $n \geq 1$ .
باستعمال إيجابية التكامل، بين أنه لكل $n \in N$ ، $0 \leq I_{n} \leq \frac{e}{n + 1}$ .
استنتج نهاية $I_{n}$ عندما يؤول $n$ إلى $+ \infty$ .

Bloqué sur cet exercice ?

Prof Hicham peut t'expliquer pas à pas, en s'adaptant à ton niveau.

تمارين على نفس المفهوم

Validez votre réponse pour enregistrer votre progression et gagner des points