تكامل بالأجزاء وحساب المساحات

التمرين 2 — المكاملة بالأجزاء ومساحة حيز من المستوى

نعتبر الدالة $f$ المعرفة على $[0;1]$ بما يلي: $f(x)=(x+1)\times e^x$.

1. بين أن $F(x)=x\times e^x$ هي دالة أصلية للدالة $f$ على $[0;1]$.

2. استنتج قيمة التكامل $I=\underset{0}{\overset{1}{\int }}(x+1)\times e^{x}dx$.

3. المنحنى الممثل للدالة $f$ في معلم متعامد $(O;i;j)$ يحدد مع محور الأفاصيل والمستقيمين اللذين معادلتاهما $x=0$ و $x=1$ حيزا $D$.

   1. علل كون الدالة $f$ موجبة على $[0;1]$.
   2. احسب المساحة $A$ للحيز $D$ بوحدة قياس المساحات (u.a.).