Inégalité intégrale, suite et comportement asymptotique

Exercice 6 — Inégalités intégrales et suite définie par une intégrale

Pour tout entier naturel $n\ge 1$, on définit la suite ($u_n$) par :
$u_n=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{x^n}{1+x}dx$.

1. Calcul des premiers termes :

   1. Montrer que $u_1=1-\ln (2)$.
   2. En remarquant que $\frac{x}{1+x}=1-\frac{1}{1+x}$, vérifier ce résultat et calculer $u_2$.

2. Relation de récurrence :
   Montrer que pour tout $n\ge 1$ :
   $u_n+u_{n+1}=\frac{1}{n+1}$.
   Indication : calculer $u_n+u_{n+1}$ en regroupant les intégrales.

3. Encadrement et limite :

   1. Montrer que pour tout $x\in [0;1]$ et tout $n\ge 1$ : $\frac{x^n}{2}\le \frac{x^n}{1+x}\le x^n$.
      En déduire : $\frac{1}{2(n+1)}\le u_n\le \frac{1}{n+1}$.
   2. Montrer que la suite ($u_n$) converge et déterminer sa limite.

4. Application :
   En utilisant la relation $u_n+u_{n+1}=\frac{1}{n+1}$ et la limite trouvée, montrer que :
   $\underset{n\to +\infty }{\lim }n\times u_n=\frac{1}{2}$.
   On pourra considérer $n\times u_n=\frac{n}{n+1}-n\times u_{n+1}$.