Suite définie par une intégrale — niveau difficile

Exercice 6 — Suite définie par une intégrale et encadrement

Pour tout entier naturel n, on définit : $I_n=\underset{0}{\overset{1}{\int }}{x}^n\cdot e^{x}dx$.

1. Partie A — Relation de récurrence
   a) Calculer $I_0=\underset{0}{\overset{1}{\int }}{e}^{x}dx$.
   b) En utilisant une intégration par parties avec $u(x)=x^n$ et $v^{\prime }(x)=e^x$, établir la relation de récurrence : $I_n=e-n\cdot I_{n-1}$, pour tout $n\ge 1$.
   c) Calculer $I_1$ puis $I_2$.
2. Partie B — Encadrement
   a) Montrer que pour tout $x\in [0;1]$ et tout $n\in \mathbb{N}$ : $0\le x^n\cdot e^x\le e^x$.
   b) En déduire que $0\le I_n\le e-1$ pour tout $n\in \mathbb{N}$.
   c) Montrer de plus que $I_n\le \underset{0}{\overset{1}{\int }}{x}^n\cdot edx=\frac{e}{n+1}$, puis conclure sur le comportement de $I_n$ quand $n\to +\infty$.