Calcul intégral : primitive, intégrale et aire

Exercice — Calcul intégral (20 points)

Soit la fonction f définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x)=(2x-1)e^x$.

On note $C_f$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $(O,\hat{i},\hat{j})$.

Partie A — Étude de f

1. Calculer $f^{\prime }(x)$ et étudier son signe. En déduire les variations de f.
2. Montrer que la droite (D) d'équation $y=-1$ est tangente à $C_f$ en un point A dont on précisera les coordonnées.
3. Déterminer les limites de f en $-\infty$ et en $+\infty$. (On rappelle que $\underset{x\to -\infty }{\lim }x\cdot e^x=0$.)

Partie B — Primitive et intégrale

4. On cherche une primitive F de f de la forme $F(x)=(ax+b)e^x$, où a et b sont des réels.
   a) En dérivant $F(x)=(ax+b)e^x$, exprimer $F^{\prime }(x)$ en fonction de a, b et x.
   b) Identifier a et b en écrivant $F^{\prime }(x)=f(x)$. En déduire une primitive F de f.
5. Calculer $I=\underset{0}{\overset{1}{\int }}f(x)dx$ en utilisant F. Donner la valeur exacte de I.

Partie C — Aire d'un domaine

6. Montrer que, sur l'intervalle $[0;1]$, on a $f(x)\le 0$ pour $x\in [0;1/2]$ et $f(x)\ge 0$ pour $x\in [1/2;1]$.
7. En déduire l'aire (en unités d'aire) du domaine délimité par $C_f$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=0$ et $x=1$. On donnera la valeur exacte, puis une valeur approchée à $10^{-2}$ près (on admet $e\approx 2,718$).