Intégration par parties — niveau intermédiaire

Exercice 3 — Intégration par parties

On rappelle la formule d'intégration par parties (IPP) : si u et v sont deux fonctions dérivables sur $[a;b]$, alors :

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}u(x)\cdot v^{\prime }(x)dx=[u(x)\cdot v(x){]}_a^b-\underset{a}{\overset{b}{\int }}{u}^{\prime }(x)\cdot v(x)dx$

1. Calculer $I=\underset{0}{\overset{1}{\int }}x\cdot e^{x}dx$ en utilisant une intégration par parties. On précisera le choix de $u$ et $v^{\prime }$.
2. Calculer $J=\underset{1}{\overset{e}{\int }}x\cdot \ln (x)dx$ en utilisant une intégration par parties. On précisera le choix de $u$ et $v^{\prime }$.
3. En déduire la valeur de $K=\underset{1}{\overset{e}{\int }}(x\cdot \ln (x)+x\cdot e^x)dx$.