Soit f ( x ) = ( x − 1 ) e − x + 1 et g ( x ) = − ( x − 1 ) e x − 1 . Montrer que f ( x ) + g ( x ) = 0 si et seulement si x = 1 . Étudier la position relative de C f et C g . Calculer l'aire du domaine délimité par C f et C g entre x = 0 et x = 1 . On pose I n = 0 ∫ 1 x n ⋅ e − x d x . Montrer que I n + 1 = − e − 1 + ( n + 1 ) I n . Calculer I 0 , I 1 , I 2 .

Calcul d'aire et intégrale avec paramètre (Bac)

Difficile

Soit $f (x) = (x - 1) e^{- x + 1}$ et $g (x) = - (x - 1) e^{x - 1}$ .

Montrer que $f (x) + g (x) = 0$ si et seulement si $x = 1$ .
Étudier la position relative de $C_{f}$ et $C_{g}$ .
Calculer l'aire du domaine délimité par $C_{f}$ et $C_{g}$ entre $x = 0$ et $x = 1$ .
On pose $I_{n} = 0 \int 1 x^{n} \cdot e^{- x} d x$ . Montrer que $I_{n + 1} = - e^{- 1} + (n + 1) I_{n}$ .
Calculer $I_{0}$ , $I_{1}$ , $I_{2}$ .

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1 Indice 1

Factorise $f(x)+g(x)$ et $f(x)-g(x)$ en mettant $(x-1)$ en facteur.

2 Indice 2

Le signe de $f-g$ ne depend que de celui de $(x-1)$ car la somme d'exponentielles est positive.

3 Indice 3

Pour $I_{n+1}$, integre par parties avec $u=x^{n+1}$ et $v'=e^{-x}$.

Bloqué sur cet exercice ?

Prof Hicham peut t'expliquer pas à pas, en s'adaptant à ton niveau.

Factorise $f (x) + g (x)$ et $f (x) - g (x)$ en mettant $(x - 1)$ en facteur.

Le signe de $f - g$ ne depend que de celui de $(x - 1)$ car la somme d'exponentielles est positive.

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

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