On considère J n = 0 ∫ π x n ⋅ sin ( x ) d x pour n ∈ N . Calculer J 0 et J 1 . Montrer la relation de récurrence : J n = π n − n ( n − 1 ) ⋅ J n − 2 pour n ≥ 2 . Calculer J 2 et J 3 . Montrer que J n > 0 pour tout n ≥ 0 . Montrer que J n ≤ n + 1 π n + 1 et en déduire un encadrement.

Calcul d'intégrales par parties itérées (Bac)

Difficile

Énoncé

On considère $J_{n} = 0 \int π x^{n} \cdot sin (x) d x$ pour $n \in N$ .

Calculer $J_{0}$ et $J_{1}$ .
Montrer la relation de récurrence : $J_{n} = π^{n} - n (n - 1) \cdot J_{n - 2}$ pour $n \geq 2$ .
Calculer $J_{2}$ et $J_{3}$ .
Montrer que $J_{n} > 0$ pour tout $n \geq 0$ .
Montrer que $J_{n} \leq \frac{π ^{n + 1}}{n + 1}$ et en déduire un encadrement.

Indices

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1 Indice 1

Pour $J_0$, calcule directement une primitive de $\sin(x)$. Pour $J_1$, utilise une intégration par parties avec $u = x$ et $v' = \sin(x)$.

2 Indice 2

Pour la relation de récurrence, applique deux intégrations par parties successives à $J_n$, en dérivant $x^n$ puis $x^{n-1}$.

3 Indice 3

Pour la positivité, observe le signe de $x^n \sin(x)$ sur $]0,\pi[$. Pour la majoration, utilise $|\sin(x)| \le 1$ dans l'intégrale.

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Pour $J_{0}$ , calcule directement une primitive de $sin (x)$ . Pour $J_{1}$ , utilise une intégration par parties avec $u = x$ et $v^{'} = sin (x)$ .

Pour la relation de récurrence, applique deux intégrations par parties successives à $J_{n}$ , en dérivant $x^{n}$ puis $x^{n - 1}$ .

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