On définit la fonction f sur R par : f ( x ) = 0 ∫ x t ⋅ e − t d t . Calculer f(x) en calculant explicitement l'intégrale par IPP. Déterminer les limites de f en + ∞ et en − ∞ . Étudier la dérivabilité de f, calculer f ′ ( x ) et dresser le tableau de variations de f. Montrer que la droite y = − 1 est asymptote à la courbe en − ∞ . Préciser la position de la courbe par rapport à cette asymptote. Calculer l'aire du domaine délimité par la courbe C f , l'axe des abscisses, et les droites d'équation x = 0 et x = 1 .

Fonction définie par une intégrale — étude complète (Bac)

Difficile

On définit la fonction f sur $R$ par : $f (x) = 0 \int x t \cdot e^{- t} d t$ .

Calculer f(x) en calculant explicitement l'intégrale par IPP.
Déterminer les limites de f en $+ \infty$ et en $- \infty$ .
Étudier la dérivabilité de f, calculer $f^{'} (x)$ et dresser le tableau de variations de f.
Montrer que la droite $y = - 1$ est asymptote à la courbe en $- \infty$ . Préciser la position de la courbe par rapport à cette asymptote.
Calculer l'aire du domaine délimité par la courbe $C_{f}$ , l'axe des abscisses, et les droites d'équation $x = 0$ et $x = 1$ .

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1 Indice 1

Pour la question 1, utilise une intégration par parties avec $u=t$ et $v'=e^{-t}$.

2 Indice 2

Pour les limites, souviens-toi du résultat de croissances comparées : $x e^{-x}\\to 0$ quand $x\\to+\\infty$.

3 Indice 3

Pour la dérivée, utilise le théorème fondamental de l'analyse : $f'(x)$ s'obtient directement en remplaçant $t$ par $x$ dans l'intégrande.

Bloqué sur cet exercice ?

Prof Hicham peut t'expliquer pas à pas, en s'adaptant à ton niveau.

Pour la question 1, utilise une intégration par parties avec $u = t$ et $v^{'} = e^{- t}$ .

Pour les limites, souviens-toi du résultat de croissances comparées : $x e^{- x} t o 0$ quand $x t o + in f t y$ .

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

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