متتالية معرفة بتكامل

التمرين 6 — متتالية معرفة بتكامل وتأطير

لكل عدد صحيح طبيعي n، نعرف: $I_n=\underset{0}{\overset{1}{\int }}{x}^n\cdot e^{x}dx$.

1. الجزء A — علاقة ترجعية
   أ) أحسب $I_0=\underset{0}{\overset{1}{\int }}{e}^{x}dx$.
   ب) باستخدام مكاملة بالأجزاء مع $u(x)=x^n$ و $v^{\prime }(x)=e^x$، أثبت العلاقة الترجعية: $I_n=e-n\cdot I_{n-1}$، لكل $n\ge 1$.
   ج) أحسب $I_1$ ثم $I_2$.
2. الجزء B — تأطير
   أ) بين أنه لكل $x\in [0;1]$ ولكل $n\in \mathbb{N}$: $0\le x^n\cdot e^x\le e^x$.
   ب) استنتج أن $0\le I_n\le e-1$ لكل $n\in \mathbb{N}$.
   ج) بين كذلك أن $I_n\le \underset{0}{\overset{1}{\int }}{x}^n\cdot edx=\frac{e}{n+1}$، ثم استنتج سلوك $I_n$ عندما يؤول $n$ إلى $+\infty$.