حساب تكاملي: دالة أصلية، تكامل ومساحة

تمرين — التكامل (20 نقطة)

لتكن الدالة f المعرفة على $\mathbb{R}$ بما يلي: $f(x)=(2x-1)e^x$.

نرمز بـ $C_f$ إلى منحناها الممثل في معلم متعامد ممنظم $(O,\hat{i},\hat{j})$.

الجزء الأول — دراسة الدالة f

1. احسب $f^{\prime }(x)$ وادرس إشارتها. استنتج تغيرات الدالة f.
2. بين أن المستقيم (D) ذو المعادلة $y=-1$ مماس للمنحنى $C_f$ في نقطة A يجب تحديد إحداثياتها.
3. حدد نهايتي الدالة f عند $-\infty$ وعند $+\infty$. (نذكر أن $\underset{x\to -\infty }{\lim }x\cdot e^x=0$.)

الجزء الثاني — دالة أصلية وتكامل

4. نبحث عن دالة أصلية F للدالة f على الشكل $F(x)=(ax+b)e^x$ حيث a و b عددان حقيقيان.
   أ) باشتقاق $F(x)=(ax+b)e^x$، عبر عن $F^{\prime }(x)$ بدلالة a و b و x.
   ب) حدد a و b بكتابة $F^{\prime }(x)=f(x)$. استنتج دالة أصلية F للدالة f.
5. احسب $I=\underset{0}{\overset{1}{\int }}f(x)dx$ باستخدام F. أعط القيمة المضبوطة لـ I.

الجزء الثالث — مساحة حيز

6. بين أنه على المجال $[0;1]$، لدينا $f(x)\le 0$ من أجل $x\in [0;1/2]$ و $f(x)\ge 0$ من أجل $x\in [1/2;1]$.
7. استنتج مساحة (بوحدات المساحة) الحيز المحصور بين $C_f$ ومحور الأفاصيل والمستقيمين ذوي المعادلتين $x=0$ و $x=1$. أعط القيمة المضبوطة، ثم قيمة مقربة إلى $10^{-2}$ (نعتبر $e\approx 2,718$).