نعتبر J n = 0 ∫ π x n ⋅ sin ( x ) d x لكل n ∈ N . احسب J 0 و J 1 . بين علاقة الترجع التالية: J n = π n − n ( n − 1 ) ⋅ J n − 2 لكل n ≥ 2 . احسب J 2 و J 3 . بين أن J n > 0 لكل n ≥ 0 . بين أن J n ≤ n + 1 π n + 1 واستنتج تأطيرا.

حساب التكاملات بالتجزئة المتتالية

Difficile

نعتبر $J_{n} = 0 \int π x^{n} \cdot sin (x) d x$ لكل $n \in N$ .

احسب $J_{0}$ و $J_{1}$ .
بين علاقة الترجع التالية: $J_{n} = π^{n} - n (n - 1) \cdot J_{n - 2}$ لكل $n \geq 2$ .
احسب $J_{2}$ و $J_{3}$ .
بين أن $J_{n} > 0$ لكل $n \geq 0$ .
بين أن $J_{n} \leq \frac{π ^{n + 1}}{n + 1}$ واستنتج تأطيرا.

— انقر للكشف

1 الإرشاد 1

لحساب $J_0$، احسب مباشرة دالة أصلية لـ $\sin(x)$. لحساب $J_1$، استعمل التكامل بالأجزاء مع $u = x$ و $v' = \sin(x)$.

2 الإرشاد 2

لإثبات علاقة الاستدعاء، طبق تكاملين بالأجزاء متتاليين على $J_n$، بمشتقة $x^n$ ثم $x^{n-1}$.

3 الإرشاد 3

لإثبات الموجبية، لاحظ إشارة $x^n \sin(x)$ على $]0,\pi[$. للتأطير، استعمل $|\sin(x)| \le 1$ داخل التكامل.

Bloqué sur cet exercice ?

Prof Hicham peut t'expliquer pas à pas, en s'adaptant à ton niveau.

لحساب $J_{0}$ ، احسب مباشرة دالة أصلية لـ $sin (x)$ . لحساب $J_{1}$ ، استعمل التكامل بالأجزاء مع $u = x$ و $v^{'} = sin (x)$ .

لإثبات علاقة الاستدعاء، طبق تكاملين بالأجزاء متتاليين على $J_{n}$ ، بمشتقة $x^{n}$ ثم $x^{n - 1}$ .

التصحيح المفصّل خطوة بخطوة أسفله.

تمارين على نفس المفهوم

Validez votre réponse pour enregistrer votre progression et gagner des points