Anneau commutatif unitaire sur R² et intégrité

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Énoncé

على نعرف قانونين و بـ: لكل ،

  1. بين أن زمرة تبديلية.
  2. بين أن تبديلية، تجميعية وتقبل عنصراً محايداً.
  3. بين أن حلقة تبديلية وحدوية.
  4. هل هذه الحلقة تكاملية؟

إرشادات

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1 الإرشاد 1
Pour montrer que $(\mathbb{R}^2, +)$ est un groupe commutatif, vérifie les quatre propriétés : associativité, élément neutre, symétrique (opposé) et commutativité. Ici l'addition est composante par composante, donc inspire-toi de l'addition usuelle sur $\mathbb{R}$.
2 الإرشاد 2
Pour vérifier si l'anneau est intègre, cherche s'il existe des diviseurs de zéro non nuls. Teste par exemple $(0, 1) \times (0, 1)$ : calcule le produit avec la formule $(x, y) \times (a, b) = (ax, bx + ay)$ et regarde si tu obtiens $(0, 0)$.

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الطريقة — من أين نبدأ

Pour montrer que est un groupe commutatif, vérifie les quatre propriétés : associativité, élément neutre, symétrique (opposé) et commutativité. Ici l'addition est composante par composante, donc inspire-toi de l'addition usuelle sur .

Pour vérifier si l'anneau est intègre, cherche s'il existe des diviseurs de zéro non nuls. Teste par exemple : calcule le produit avec la formule et regarde si tu obtiens .

التصحيح المفصّل خطوة بخطوة أسفله.

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Un groupe multiplicatif de matrices via une suite C(n) كل تمارين الدرس Anneau de matrices, morphisme et inversibilité