Distribution et répartition d'objets

Difficile
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Énoncé

On dispose de 12 élèves à répartir en groupes.

  1. On forme 3 groupes distincts (groupe A, B, C) de 4 élèves chacun. Combien de répartitions sont possibles ?
  2. On forme 3 groupes de 4 élèves chacun, mais les groupes sont indistinguables (on ne les nomme pas). Combien de répartitions sont possibles ?
  3. Parmi les 12 élèves, 5 sont des filles et 7 sont des garçons. On choisit un groupe de 4. Combien de façons y a-t-il de former un groupe de 4 élèves contenant au moins 2 filles ?
  4. On doit choisir 2 délégués parmi les 5 filles et 3 délégués parmi les 7 garçons. Combien de sélections sont possibles ?

Indices

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1 Indice 1
Pour 1), procédez étape par étape : choisissez d'abord les 4 élèves du groupe A parmi 12, puis les 4 du groupe B parmi les 8 restants, le groupe C étant déterminé.
2 Indice 2
Pour 2), les groupes n'étant plus nommés, divisez le résultat de 1) par le nombre de façons de permuter 3 groupes, soit $3! = 6$.
3 Indice 3
Pour 3) et 4), utilisez les combinaisons $\binom{n}{k}$ séparément pour filles et garçons ; pour 3), pensez à décomposer selon le nombre exact de filles (2, 3 ou 4) et sommez les cas.

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La méthode — par où commencer

Pour 1), procédez étape par étape : choisissez d'abord les 4 élèves du groupe A parmi 12, puis les 4 du groupe B parmi les 8 restants, le groupe C étant déterminé.

Pour 2), les groupes n'étant plus nommés, divisez le résultat de 1) par le nombre de façons de permuter 3 groupes, soit .

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

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