Équations combinatoires et identités

Difficile
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Énoncé

  1. Résoudre l'équation : (trouver l'entier naturel n).
  2. Résoudre : (trouver , ).
  3. Montrer l'identité suivante pour tous entiers et :

  4. En utilisant la relation de Pascal deux fois, montrer que :

Indices

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1 Indice 1
Pour 1) et 2), utilise les formules $C_n^2=\\dfrac{n(n-1)}{2}$ et $A_n^2=n(n-1)$, puis résous l'équation du second degré obtenue en ne gardant que la solution positive.
2 Indice 2
Pour 3), développe $C_{n+1}^{p+1}$ et $C_n^p$ à l'aide des factorielles et compare les deux membres après simplification.
3 Indice 3
Pour 4), regroupe les termes deux par deux et applique deux fois la relation de Pascal $C_n^p+C_n^{p+1}=C_{n+1}^{p+1}$.

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La méthode — par où commencer

Pour 1) et 2), utilise les formules et , puis résous l'équation du second degré obtenue en ne gardant que la solution positive.

Pour 3), développe et à l'aide des factorielles et compare les deux membres après simplification.

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

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