Soit m ∈ R et f m ( x ) = x 3 − 3 m x + 2 . Calculer f m ′ ( x ) et discuter suivant m le nombre de racines de f m ′ ( x ) = 0 . Pour quelles valeurs de m la fonction f m est-elle strictement croissante sur R ? Pour m > 0 , déterminer les extrema locaux et leurs valeurs en fonction de m . Pour quelle valeur de m l'équation f m ( x ) = 0 admet-elle une racine double ?

Étude d'une fonction paramétrée

Difficile

Soit $m \in R$ et $f_{m} (x) = x^{3} - 3 m x + 2$ .

Calculer $f_{m}^{'} (x)$ et discuter suivant $m$ le nombre de racines de $f_{m}^{'} (x) = 0$ .
Pour quelles valeurs de $m$ la fonction $f_{m}$ est-elle strictement croissante sur $R$ ?
Pour $m > 0$ , déterminer les extrema locaux et leurs valeurs en fonction de $m$ .
Pour quelle valeur de $m$ l'équation $f_{m} (x) = 0$ admet-elle une racine double ?

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1 Indice 1

Dérive $f_m(x)=x^3-3mx+2$ pour obtenir $f_m'(x)=3(x^2-m)$, puis discute selon le signe de $m$.

2 Indice 2

$f_m$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$ si et seulement si $f_m'(x)\geq 0$ pour tout $x$ : traduis cela en condition sur $m$.

3 Indice 3

Pour la racine double, le minimum local de $f_m$ (en $x=\sqrt{m}$ pour $m>0$) doit être nul : résous $f_m(\sqrt m)=0$.

Bloqué sur cet exercice ?

Prof Hicham peut t'expliquer pas à pas, en s'adaptant à ton niveau.

Dérive $f_{m} (x) = x^{3} - 3 m x + 2$ pour obtenir $f_{m}^{'} (x) = 3 (x^{2} - m)$ , puis discute selon le signe de $m$ .

$f_{m}$ est strictement croissante sur $R$ si et seulement si $f_{m}^{'} (x) \geq 0$ pour tout $x$ : traduis cela en condition sur $m$ .

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

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