Ensemble des parties : propriétés

Difficile
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Énoncé

Énoncé

Soient , , et des ensembles.

  1. Montrer que .

  2. Montrer que .

  3. a) Montrer que .
    b) Montrer que la réciproque est fausse.

Indices

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1 Indice 1
Pour une équivalence, traitez les deux sens séparément : montrez d'abord ($\Rightarrow$), puis ($\Leftarrow$). Pensez à utiliser le fait que $E \in \mathcal{P}(E)$.
2 Indice 2
Pour l'égalité d'ensembles $\mathcal{P}(A\cap B)=\mathcal{P}(A)\cap\mathcal{P}(B)$, partez d'un élément $X$ quelconque et transformez $X \subset A \cap B$ en une conjonction de deux inclusions.
3 Indice 3
Pour la question 3b), cherchez un contre-exemple simple avec deux petits ensembles disjoints, par exemple des singletons, et considérez leur réunion.

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La méthode — par où commencer

Pour une équivalence, traitez les deux sens séparément : montrez d'abord (), puis (). Pensez à utiliser le fait que .

Pour l'égalité d'ensembles , partez d'un élément quelconque et transformez en une conjonction de deux inclusions.

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

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