Fonction invariante par x ↦ 1/x et majoration

Difficile
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Énoncé

Soit définie par .

  1. Montrer que .
  2. Montrer que n'est pas injective.
  3. Montrer que .
  4. Montrer que n'est pas surjective.

Indices

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1 Indice 1
Pour la question 1, remplace $x$ par $\dfrac{1}{x}$ dans l'expression de $f$, mets tout au même dénominateur (en $x$), puis simplifie.
2 Indice 2
Pour la question 2, utilise le résultat de la question 1 avec des valeurs particulières comme $x=2$ pour trouver deux antécédents distincts ayant la même image.
3 Indice 3
Pour la question 3, étudie le signe de $f(x) - \dfrac{1}{4}$ en réduisant au même dénominateur, puis essaie d'écrire le numérateur comme somme de carrés ou d'un carré et d'une expression toujours positive (discriminant négatif).

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La méthode — par où commencer

Pour la question 1, remplace par dans l'expression de , mets tout au même dénominateur (en ), puis simplifie.

Pour la question 2, utilise le résultat de la question 1 avec des valeurs particulières comme pour trouver deux antécédents distincts ayant la même image.

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

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Homographie : injectivité et images Tous les exercices du chapitre Application linéaire sur ℝ² et application somme sur ℕ²