Injectivité et surjectivité d'une composée

Difficile
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Soient et deux applications.

  1. Montrer que : injective injective.
  2. Montrer que : surjective surjective.
  3. Montrer que : injective et surjective injective.

Indices

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1 Indice 1
Pour 1), pars de $f(x_1)=f(x_2)$ et compose par $g$ pour utiliser l'injectivité de $g\circ f$.
2 Indice 2
Pour 2), pars d'un élément quelconque $z\in G$ et utilise la surjectivité de $g\circ f$ pour trouver un antécédent, puis identifie l'image intermédiaire par $f$.
3 Indice 3
Pour 3), pars de $g(y_1)=g(y_2)$, utilise la surjectivité de $f$ pour écrire $y_1=f(x_1)$, $y_2=f(x_2)$, puis reviens à $g\circ f$.

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La méthode — par où commencer

Pour 1), pars de et compose par pour utiliser l'injectivité de .

Pour 2), pars d'un élément quelconque et utilise la surjectivité de pour trouver un antécédent, puis identifie l'image intermédiaire par .

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Composition de fonctions et décomposition Tous les exercices du chapitre Étude de x + √(x²+1) : image et bijection réciproque