Soit f une application de E vers F . Soient A , B deux parties de E et C , D deux parties de F . Montrer que A ⊂ B ⇒ f ( A ) ⊂ f ( B ) . Montrer que f ( A ∪ B ) = f ( A ) ∪ f ( B ) . Montrer que f ( A ∩ B ) ⊂ f ( A ) ∩ f ( B ) . Montrer que C ⊂ D ⇒ f − 1 ( C ) ⊂ f − 1 ( D ) . Montrer que f − 1 ( C ∩ D ) = f − 1 ( C ) ∩ f − 1 ( D ) . Montrer que f − 1 ( C ∪ D ) = f − 1 ( C ) ∪ f − 1 ( D ) .

Propriétés des images directes et réciproques

Difficile

Énoncé

Soit $f$ une application de $E$ vers $F$ . Soient $A, B$ deux parties de $E$ et $C, D$ deux parties de $F$ .

Montrer que $A \subset B \Rightarrow f (A) \subset f (B)$ .
Montrer que $f (A \cup B) = f (A) \cup f (B)$ .
Montrer que $f (A \cap B) \subset f (A) \cap f (B)$ .
Montrer que $C \subset D \Rightarrow f^{- 1} (C) \subset f^{- 1} (D)$ .
Montrer que $f^{- 1} (C \cap D) = f^{- 1} (C) \cap f^{- 1} (D)$ .
Montrer que $f^{- 1} (C \cup D) = f^{- 1} (C) \cup f^{- 1} (D)$ .

Indices

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1 Indice 1

Pour montrer une inclusion $X \subset Y$, prenez un élément quelconque $y \in X$ et montrez qu'il appartient à $Y$ en utilisant la définition de l'image directe ou réciproque.

2 Indice 2

Pour une égalité entre deux ensembles, montrez les deux inclusions séparément (double inclusion), ou utilisez une chaîne d'équivalences si possible.

3 Indice 3

Rappelez-vous : $y \in f(A)$ signifie qu'il existe $x \in A$ tel que $f(x)=y$ ; et $x \in f^{-1}(C)$ signifie $f(x) \in C$.

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Pour montrer une inclusion $X \subset Y$ , prenez un élément quelconque $y \in X$ et montrez qu'il appartient à $Y$ en utilisant la définition de l'image directe ou réciproque.

Pour une égalité entre deux ensembles, montrez les deux inclusions séparément (double inclusion), ou utilisez une chaîne d'équivalences si possible.

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