Soit f ( x ) = x − 2 et g ( x ) = x 2 − 4 x + 5 . Déterminer D f et D g . Montrer que g ( x ) = ( x − 2 ) 2 + 1 pour tout x ∈ R . En déduire la variation de g. Déterminer le domaine de f ∘ g et donner son expression. Étudier le sens de variation de f ∘ g sur ] − ∞ ; 2 ] et sur [ 2 ; + ∞ [ .

Composée et monotonie — étude

Difficile

Énoncé

Soit $f (x) = x - 2$ et $g (x) = x^{2} - 4 x + 5$ .

Déterminer $D_{f}$ et $D_{g}$ .
Montrer que $g (x) = (x - 2)^{2} + 1$ pour tout $x \in R$ . En déduire la variation de g.
Déterminer le domaine de $f \circ g$ et donner son expression.
Étudier le sens de variation de $f \circ g$ sur $] - \infty; 2]$ et sur $[2; + \infty [$ .

Indices

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1 Indice 1

Pour $D_f$ et $D_g$, rappelle qu'une racine carrée exige un contenu positif ou nul, et qu'un polynôme est défini partout.

2 Indice 2

Mets $g(x)$ sous forme canonique pour trouver son minimum et ses variations, puis traduis la condition $g(x)\ge 2$ pour trouver le domaine de $f\circ g$.

3 Indice 3

Pour la monotonie de $f\circ g$, compare le sens de variation de $g$ sur chaque intervalle à celui de $f$ (qui est croissante).

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Pour $D_{f}$ et $D_{g}$ , rappelle qu'une racine carrée exige un contenu positif ou nul, et qu'un polynôme est défini partout.

Mets $g (x)$ sous forme canonique pour trouver son minimum et ses variations, puis traduis la condition $g (x) \geq 2$ pour trouver le domaine de $f \circ g$ .

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