Soit f une fonction définie sur R . On pose pour tout x ∈ R : p ( x ) = [ f ( x ) + f ( − x )] /2 et q ( x ) = [ f ( x ) − f ( − x )] /2 Montrer que p est paire et q est impaire. Montrer que f = p + q. En déduire que toute fonction définie sur R s'écrit de manière unique comme somme d'une fonction paire et d'une fonction impaire. Appliquer à f ( x ) = x 3 + 2 x 2 − x + 5 : déterminer p et q.

Décomposition paire + impaire

Difficile

Soit f une fonction définie sur $R$ . On pose pour tout x $\in$ $R$ :

$p (x) = [f (x) + f (- x)] /2$ et $q (x) = [f (x) - f (- x)] /2$

Montrer que p est paire et q est impaire.
Montrer que f = p + q. En déduire que toute fonction définie sur $R$ s'écrit de manière unique comme somme d'une fonction paire et d'une fonction impaire.
Appliquer à $f (x) = x^{3} + 2 x^{2} - x + 5$ : déterminer p et q.

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1 Indice 1

Pour montrer que p est paire, calcule $p(-x)$ en remplacant $x$ par $-x$ dans sa definition et compare a $p(x)$.

2 Indice 2

Fais de meme pour q en calculant $q(-x)$ ; observe le signe qui apparait pour conclure sur l'imparite.

3 Indice 3

Pour l'application numerique, calcule $f(-x)$ a partir de $f(x)=x^3+2x^2-x+5$, puis utilise les formules de p et q.

Bloqué sur cet exercice ?

Prof Hicham peut t'expliquer pas à pas, en s'adaptant à ton niveau.

Pour montrer que p est paire, calcule $p (- x)$ en remplacant $x$ par $- x$ dans sa definition et compare a $p (x)$ .

Fais de meme pour q en calculant $q (- x)$ ; observe le signe qui apparait pour conclure sur l'imparite.

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

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