Fonction bornée — encadrement

Intermédiaire
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Énoncé

Soit , définie sur .

  1. Montrer que pour tout : . (Indication : étudier le signe de et de )
  2. Vérifier que et .
  3. En déduire que atteint ses bornes et que est bornée sur .

Indices

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1 Indice 1
Pars de l'indication : développe $(x - 1)^2 \geq 0$ pour obtenir $x^2 + 1 \geq 2x$, puis divise les deux membres par $x^2 + 1$ (qui est toujours strictement positif). Que peux-tu en déduire sur $\dfrac{x}{x^2+1}$ ?
2 Indice 2
Fais de même avec $(x + 1)^2 \geq 0$ pour obtenir $x^2 + 1 \geq -2x$. En divisant par $x^2 + 1$ et en réarrangeant, tu trouveras la borne inférieure de $f(x)$.

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La méthode — par où commencer

Pars de l'indication : développe pour obtenir , puis divise les deux membres par (qui est toujours strictement positif). Que peux-tu en déduire sur ?

Fais de même avec pour obtenir . En divisant par et en réarrangeant, tu trouveras la borne inférieure de .

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

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