Soit f une fonction définie sur R , paire et périodique de période T = 4. Que signifie « f est paire » ? « f est périodique de période 4 » ? Quelles symétries cela implique-t-il sur la courbe C f ? On sait que f ( 1 ) = 3 , f ( 2 ) = − 1 , f ( 0 ) = 5 . Calculer f ( − 1 ) , f ( 3 ) , f ( 5 ) , f ( − 3 ) , f ( 7 ) . Montrer que si f est paire et de période T, alors f ( T /2 ) = f ( − T /2 ) = f ( T /2 ) . En déduire, si T = 4, que f est également déterminée par ses valeurs sur [ 0 ; 2 ] .

Parité, périodicité et conséquences graphiques

Difficile

Soit f une fonction définie sur $R$ , paire et périodique de période T = 4.

Que signifie « f est paire » ? « f est périodique de période 4 » ? Quelles symétries cela implique-t-il sur la courbe $C_{f}$ ?
On sait que $f (1) = 3$ , $f (2) = - 1$ , $f (0) = 5$ . Calculer $f (- 1)$ , $f (3)$ , $f (5)$ , $f (- 3)$ , $f (7)$ .
Montrer que si f est paire et de période T, alors $f (T /2) = f (- T /2) = f (T /2)$ . En déduire, si T = 4, que f est également déterminée par ses valeurs sur $[0; 2]$ .

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1 Indice 1

Utilise la definition $f(-x)=f(x)$ (parite) et $f(x+4)=f(x)$ (periode) pour ramener chaque valeur demandee dans l'intervalle connu.

2 Indice 2

Pour f(3), f(5), f(-3), f(7), commence par utiliser la periode 4 pour te ramener a un x plus simple, puis eventuellement la parite.

3 Indice 3

Pour la question 3, combine parite et periode pour montrer que toute valeur de f se ramene a une valeur sur $[0;2]$.

Bloqué sur cet exercice ?

Prof Hicham peut t'expliquer pas à pas, en s'adaptant à ton niveau.

Utilise la definition $f (- x) = f (x)$ (parite) et $f (x + 4) = f (x)$ (periode) pour ramener chaque valeur demandee dans l'intervalle connu.

Pour f(3), f(5), f(-3), f(7), commence par utiliser la periode 4 pour te ramener a un x plus simple, puis eventuellement la parite.

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

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